Question

如图，四棱锥S-ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB=BC=2，CD=SD=1，又SD⊥面SAB．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）证明：CM∥面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer

（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；
（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；
（3）利用VS-ABCD：VS-ABD=SABCD：S△ABD，求出VS-ABD，即可求四棱锥S-ABCD的体积．
【解析】
（1）证明：由SD⊥面SAB，AB⊂面SAB，
所以SD⊥AB，又AB∥CD，
所以CD⊥SD；
（2）证明：取SA中点N，连接ND，NM，
则NM∥AB，且MN=，AB∥CD，
所以NMCD是平行四边形，
ND∥MC，且ND⊂平面SAD，MC⊄平面SAD，
所以CM∥面SAD；
（3）VS-ABCD：VS-ABD=SABCD：S△ABD=3：2，
过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD=，
在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB==2．
所以，，
四棱锥S-ABCD的体积为：．