Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f''（x）是函数y=f（x）的导数y=f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
已知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（-1，3）（不要过程）

Answer

（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2），然后计算f（1+x）+f（1-x）可得等于2f（1），根据定义（2）可得结论，一般地，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是，它就是f（x）的对称中心．
（3）根据“拐点”的定义可写出符合条件的三次函数．
【解析】
（1）依题意，得：f'（x）=3x2-6x+2，∴f''（x）=6x-6．…（2分）
由f''（x）=0，即6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．…（4分）
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+2（1+x）+2+（1-x）3-3（1-x）2+2（1-x）+2=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f（1），
由定义（2）知：f（x）=x3-3x2+2x+2关于点（1，2）对称．…（8分）
一般地，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是，它就是f（x）的对称中心．…（10分）
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数…）都可以给分
（3）G（x）=a（x+1）3+b（x+1）+3（a≠0）或写出一个具体的函数，
如G（x）=x3+3x2+3x+4或G（x）=x3+3x2-x．…（12分）