Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：3x-3y-1=0交椭圆C与A、B两点，若T（0，1）求证：．

Answer

（Ⅰ）设出椭圆C的方程，利用椭圆C过点过（0，1），（1，），建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由两边平方整理可得，故只需证明，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量的数量积即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
设椭圆C的方程为mx2+ny2=1（m＞0．n＞0）
由椭圆C过点过（0，1），（1，）得：，解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y整理得27x2-12x-16=0，
由韦达定理得
由两边平方整理可得，故只需证明
=x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+y1y2+（y1+y2）+1
而
∴=
故恒成立