Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？

Answer

（1）由图可求得A，由T=π可求ω，x=-时，y=0，可求φ；
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）可求函数f（x）的单调减区间，继而可得函数f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）利用诱导公式，可将f（x）=sin（2x+）转化为f（x）=cos2（x-），从而可得答案．
【解析】
（1）从图知，函数的最大值为1，
则A=1，函数f（x）的周期为T=4×（+）=π，而T=，则ω=2，
又x=-时，y=0，
∴sin（2×（-）+φ）=0，而|φ|＜，则φ=，
∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）…（4分）
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+得：
kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
函数f（x）的最大值为1，取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}…7分
（3）f（x）=sin（2x+）
=cos[-（2x+）]
=cos（2x-）
=cos2（x-），
故至少左移个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数…10分