Question

如图：在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求二面角V-AB-C的平面角的大小；
（2）求四棱锥V-ABCD的体积．

Answer

（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN．利用正方形的性质和等腰三角形的“三线合一”，证出MN⊥AB且VM⊥AB，得到∠VMN是二面角V-AB-C的平面角．再根据题中数据算出△VMN是正三角形，得∠VMN=60°，即得二面角V-AB-C的大小；
（2）过V作VO⊥MN于点O，利用面面垂直的性质与判定证出VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V-ABCD的高．正三角形△VMN中算出VO的长，结合锥体的体积公式和题中的数据，即可得到四棱锥V-ABCD的体积．
解（1）取AB的中点M，CD的中点N，连MN、VM、VN，（1分）
∵底面ABCD是边长为2的正方形，∴MN⊥AB，MN=2       （2分）
又∵VA=VB=，M为AB的中点，∴VM⊥AB             （3分）
∴∠VMN是二面角V-AB-C的平面角 （4分）
在Rt△VAM中，AM=1，VA=，
∴VM==2，同理可得VN=2            （5分）
∴△VMN是正三角形，可得∠VMN=60°
即二面角V-AB-C的大小为60°             （7分）
（2）由（1）知AB⊥平面VMN          （8分）
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面VMN          （9分）
过V作VO⊥MN于点O，
∵平面ABCD⊥平面VMN，平面ABCD∩平面VMN=MN，VO⊂平面VMN
∴VO⊥平面ABCD，得VO是四棱锥V-ABCD的高     （11分）
∵VM=MN=NV=2，∴VO=                      （12分）
因此，四棱锥V-ABCD的体积为
V=SABCD×VO==      （14分）