Question

ABC的面积S满足≤S≤3，且•=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

Answer

（1）数量积列等式，三角形面积列不等式，消元可解θ的取值范围．
（2）通过三角函数的基本关系，以及二倍角公式化简函数f（θ），根据θ的取值范围，求最小值．
【解析】
（1）由题意知：•=||||cosθ=6，①
S=||||sin（π-θ）
=||||sinθ，②
②÷①得=tanθ，即3tanθ=S．
由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1．
又θ为与的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，]．
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+sin（2θ+）．
∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，]．
∴当2θ+=，θ=时，f（θ）取最小值3．