Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P-CE-A的正切值．

Answer

（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF，利用三角形的中位线证明四边形AFME为平行四边形，从而证明AF∥平面PCE．
（Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH．利用PA⊥平面ABCD，根据三垂线定理可得PH⊥CN，从而可知∠PHA为二面角P-EC-A的平面角，进而可求其正切值．
证明：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF
∵FM∥CD，FM=，AE∥CD，AE=
∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形
∴AF∥EM，
∵AF⊄平面PCE
∴AF∥平面PCE…（6分）
（Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂线定理）
∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角…（8分）
∵AD=2，CD=3
∴CN=5，即EN=A=AD
∴PA=2，∴AH=
∴
∴二面角P-EC-A的正切值为．…（12分）