Question

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且•=0，点C满足=2，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且•＞0，求k的取值范围．

Answer

（1）先设出点A、B、C的坐标，然后根据且•=0，点C满足=2建立方程组，解之即可求出曲线E的方程；
（2）设直线l方程为y=k（x-1），然后根据曲线联立方程组，根据直线l交曲线E于不同的两点M、N则△＞0求出k的范围，然后设M（x1，y1），N（x2，y2）则=（x1+1，y1） =（x2+1，y2），根据•＞0建立不等式，解之即可．
【解析】
（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
则=（x-a，y），=（a，-b），=（3，-b）
∵，
∴（4分）
消去a，b得y2=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲线E的方程为y2=-4x（x＜0）（6分）
（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）
由得k2x2-2（k2-2）x+k2=0（8分）
∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0
即△=4（k2-2）2-4k2k2＞0∴k2＜1①（9分）
设M（x1，y1），N（x2，y2）则=（x1+1，y1） =（x2+1，y2）
∴
∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=＞0
解得k2＞②（11分）
由①②联立解得：＜k2＜1
∴-1＜k＜-或＜k＜1（12分）