Question

已知直线m⊥平面α，直线n在平面β内，给出下列四个命题：①α∥β⇒m⊥n；②α⊥β⇒m∥n；③m⊥n⇒α∥β；④m∥n⇒α⊥β，其中真命题的序号是    ．

Answer

由已知中直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，我们根据面面平行的性质及线面垂直的性质和几何特征，可以判断①的真假，根据面面垂直的几何特征可以判断②的真假，根据面面平行的判定定理，可以判断③的对错，根据面面垂直的判定定理，可以判断④的正误，进而得到答案．
【解析】
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α∥β时，直线m⊥平面β，则m⊥n，则①正确；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当α⊥β时，直线m∥平面β或直线m⊂平面β，则m与n可能平行也可能相交也可能异面，故②错误；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m⊥n时，则直线n∥平面α或直线m⊂平面α，则α与β可能平行也可能相交，故③错误；
∵直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，当m∥n时，则直线直线n⊥平面α，则α⊥β，故④正确；
故答案为：①④