Question

某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer

（1）根据3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，可求出k的值；进而通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数；
（2）利用基本不等式求出最值，即可得结论．
【解析】
（1）由题意：，将t=0，x=1代入得k=2
∴
当年生产x（万件）时，年生产成本=，当销售x（万件）时，年销售收入=150%
由题意，生产x万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费
即
（2），此时t=7，ymax=42．