Question

已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a∈R}．
（1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

Answer

（1）利用因式分解法求解含字母的一元二次不等式，写解集时要注意对字母a进行讨论，注意存在性问题的解决方法，只需找出合题意的实数a即可；
（2）写出该数列的通项公式是解决本题的关键．注意对字母a的讨论，利用Sn∈A得出关于a的不等式或者找反例否定某种情况，进行探求实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a＜1时，A={x|a≤x≤1}，不符合；
当a≥1时，A={x|-2≤x≤1}，设a∈[n，n+1），n∈N，则
1+2++n==28，
所以n=7，即a∈[7，8）
（2）当a≥1时，A={x|1≤x≤a}．而S2=a+a2∉A，故a≥1时，不存在满足条件的a；
当0＜a＜1时，A={a≤x≤1}，而是关于n的增函数，
所以Sn随n的增大而增大，
当且无限接近时，对任意的n∈N+，Sn∈A，只须a满足解得．
当a＜-1时，A={x|a≤x≤1}．
而S3-a=a2+a3=a2（1+a）＜0，S3∉A故不存在实数a满足条件．
当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}．S2n-1=-1，S2n=0，适合．
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}．S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n（1+a）＞S2n-1，S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）＜S2n，
∴S2n-1＜S2n+1，S2n+2＜S2n，且S2=S1+a2＞S1．
故S1＜S3＜S5＜…＜S2n+1＜S2n＜S2n-2＜…＜S4＜S2．
故只需即
解得-1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是．