Question

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是．
（1）求f（x）的解析式；
（2）实数a≠0，函数g（x）=xf（x）+（a+1）x²-a²x，若g（x）在区间（-3，2）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由题意可设f（x）=ax（x-1）（a≠0），又由最小值是，联合解之即可；
（2）表示出g（x），求导数，令导函数小于0得到函数的单调减区间，让区间（-3，2）为函数的单调递减区间的子集即可．
【解析】
（1）由二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0．设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
则．
又f（x）的最小值是，故．解得a=1．
∴f（x）=x2-x；                                   …（4分）
（2）g（x）=xf（x）+（a+1）x2-a2x=x3-x2+ax2+x2-a2x=x3+ax2-a2x．
∴g'（x）=3x2+2ax-a2=（3x-a）（x+a）． …（6分）
由g'（x）=0，得，或x=-a，又a≠0，故．…（7分）
当，即a＞0时，由g'（x）＜0，得．    …（8分）
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≥6（满足a＞0）；          …（10分）
当，即a＜0时，由g'（x）＜0，得．
∴g（x）的减区间是，又g（x）在区间（-3，2）上单调递减，
∴，解得，故a≤-9（满足a＜0）．       …（13分）
综上所述得a≤-9，或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，-9]∪[6，+∞）．                …（14分）