Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．

Answer

（I）以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC与平面ABC夹角的余弦值．
 【解析】
以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．
（Ⅰ）证明：因为=（0，0，1），=（0，1，0），
所以=0，所以AP⊥DC．
由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（II）【解析】
平面PAC的法向量为=（x，y，z），
∵=（1，1，0），=（0，1，）
∴由，可得
∴可取=（1，-1，2）
∵平面ABC的法向量=（0，0，1）
∴cos＜＞==
∴平面AMC与平面ABC夹角的余弦值为．