Question

已知函数．
（I）求；
（II）已知数列满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞．

Answer

（I）证明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得结论；
（II）证明{}是以2为公差以为首项的等差数列，可求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明，即可得到结论．
（I）【解析】
因为F（x）+F（1-x）==3
所以设（1）
（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）【解析】
由an+1=F（an），两边同减去1，得an+1-1=
所以-=2，
所以{}是以2为公差以为首项的等差数列，
所以
所以---------------（10分）
（III）证明：因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n-1）（2n+1）
所以
所以（a1a2a3…an）2＞
所以a1a2a3…an＞．----------------------------（14分）