Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相应的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求的值．

Answer

（1）求出导数f′（x），表示出g（x）并化简，由余弦函数的性质可求其最小值及相应x的值的集合；
（2）由f（x）=2f′（x）可求得tanx值，利用和角正切公式可求得的值；
【解析】
（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴当2x=-π+2kπ（k∈Z），即时，g（x）取得最小值-1，
相应的x值的集合为．      
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故，
∴．