Question

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer

（1）先根据△APB的面积为，以及AB斜率为-1，求出A，B，P的坐标，再把A，B坐标代入椭圆C的方程，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知椭圆C的焦点坐标，以及在直线AB的方程，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF1|-|MF2||最大，找到||MF1|-|MF2|的范围，求最值即可．
【解析】
（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．
∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）
∴b=2，将B（1，-3）代入椭圆得：得a2=12，
所求椭圆方程为．
（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，
则易知F1（0，-）F2（0，），
直线AB的方程为：x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF1|-|MF2||最大，设F1（0，-）关于直线AB的对称点为F1'（-2，-2），则直线F2F1′与直线的交点为所求M，
因为F2F1′的方程为：，联立得M（1，-3）
又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1'|-|MF2||≤|F2F1'|
==2，故，
故所求双曲线方程为：