Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由an+2=3an+1-2an⇒an+2-an+1=2（an+1-an），a1=1，a2=3，从而可证数列{an+1-an}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1-an=2n（n∈N*），利用累加法，借助等比数列的求和公式即可求得数列{an}的通项公式．
证明：（Ⅰ）∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2（an+1-an），
∴=2（n∈N*）．
∵a1=1，a2=3，
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1-an=2n（n∈N*），
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+…+2+1
=2n-1（n∈N*）．