Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0），斜率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（I）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer

（I）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（II）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
【解析】
（I）由已知得，c=，，
解得a=，又b2=a2-c2=4，
所以椭圆G的方程为．
（II）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x2+6mx+3m2-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x，y），
则x==-，
y=x+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x2+12x=0．
解得x1=-3，x2=0，
所以y1=-1，y2=2，
所以|AB|=3，此时，点P（-3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．