Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，满足，在等比数列{b_n}中，b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{}是等比数列．

Answer

（Ⅰ）根据，利用等差数列的性质，可得a3=5，利用b3=a2+2，b4=a3+5，b5=a4+13，可求等差数列{an}的公差，等比数列{bn}的公比，从而可得数列{bn}的通项公式bn；
（Ⅱ）Sn=，从而，利用等比数列的定义可得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵
∴
∴
∴a3=5
设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则
∵b3=a2+2，b4=a3+5，b5=a4+13，
∴=（a2+2）（a4+13）
∴100=（7-d）（18+d）
∴d2+11d-26=0
∴d=2或d=-13（数列递增，舍去）
∴b3=a2+2=5，b4=a3+5=10，
∴q=2
∴bn=b3qn-3=5•2n-3；
（Ⅱ）证明：Sn=
∴
∴
∴数列{}是以为首项，2 为公比的等比数列．