Question

已知函数（a，b∈R）在x=2处取得极小值．
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．

Answer

（I）根据题意，结合导数的性质可得函数f（x）满足f′（2）=0且f（2）=-，由此建立关于a、b的方程组，解出a、b的值即可得到函数f（x）的解析式．
（II）由（I）可得f′（x）=x2-4=0的两个根x1=-2，x2=2．由此将区间[-4，3]分为3个部分，结合表格可得函数在[-4，3]上的3个单调区间，比较区间端点的函数值和函数的极大、极小值，即可得到f（x）在[-4，3]上的最大值和最小值．
【解析】
（I）对f（x）求导函数，可得f′（x）=x2+a
∵函数在x=2处取得极小值-，∴f′（2）=0，f（2）=-
可得4+a=0且+2a+b=-，解之得a=-4，b=4
∴可得f（x）=x3-4x+4．
（II）由（I）得f′（x）=x2-4
解方程f′（x）=0，得x=2或-2
由此列出如下表格：
根据表格，可得函数f（x）在[-4，3]上的最大值为f（-2）=，最小值为．