Question

已知椭圆过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆C上一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积S．

Answer

（I）由椭圆的离心率e==可得a=2c，从而可设出椭圆的标准方程，再将点的坐标代入可得求得答案．
（II）利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，又|F1F2|=2c，∠F1PF2=60°，利用余弦定理可求得|PF1|•|PF2|，从而可求得△F1PF2的面积．
【解析】
（I）由e==，可得a=2ca，因此设椭圆方程为，
将点的坐标代入可得c2=1，
∴所求方程是：．
（II）∵P是椭圆 ．上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，
∴|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，
在△F1PF2中，由余弦定理得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2
=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°
=16-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|×=16-3|PF1|•|PF2|=4，
∴|PF1|•|PF2|=4，
∴S△F1PF2=|PF1|•|PF2|sin60°=×4×=．