Question

已知数列{b_n}满足b_n+1=+，且b₁=，T_n为{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果对任意n∈N^*，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（I）根据题意，将已知等式变形可得bn+1-=（bn-），从而得到{bn-}成首项b1-=3，公比为q=的等比数列，结合等比数列的通项公式即可算出{bn}的通项公式；
（II）由等比数列的求和公式，算出Tn=6（1-）+，因此将等价变形为k，欲使该不等式对任意n∈N*恒成立，则k≥（）max．设cn=，研究cn+1-cn可得当n≥5时cn+1＜cn，{cn}为单调递减数列；当1≤n＜5时，{cn}为单调递增数列，由此算出cn的最大值是c5=，从而得到满足不等式恒成立的实数k的范围为[，+∞）．
【解析】
（Ⅰ） 对任意n∈N*，都有bn+1=+，
两边都减去，得bn+1-=-，即bn+1-=（bn-）
∴数列{bn-}成等比数列，首项为b1-=3，公比为q=              …（3分）
因此，bn-=3×（）n-1，可得bn=3×（）n-1+                  …（5分）
（Ⅱ）∵bn=3×（）n-1+ 
∴Tn=3（1+++…+）+×n=+=6（1-）+      …（8分）
又∵不等式恒成立，
∴将Tn表达式代入，化简得k对任意n∈N*恒成立…（9分）
设cn=，则cn+1-cn=-=             …（11分）
当n≥5时cn+1-cn＜0，得cn+1＜cn，{cn}为单调递减数列；
当1≤n＜5时cn+1-cn＞0，得cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列
∵c4=，c5=，得c4＜c5
∴当n=5时，cn取得最大值                   …（13分）
所以，要使k对任意n∈N*恒成立，k≥
即满足不等式对任意n∈N*恒成立的k的取值范围为[，+∞）．      …（14分）