Question

已知函数．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调增区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）利用导数进行理解，即h'（x）＞0在（0，+∞）上有解．可得不等式ax2+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，结合根的判别式列式，即可得到a的取值范围．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a＞0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即ax2+（1-2a）x-lnx=0，设h（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，再利用利用导数讨论h（x）的单调性，由此建立不等式组并解之，可得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知，得h（x）=，且x＞0，
则h'（x）=ax+2-=，…（2分）
∵函数h（x）存在单调递增区间，∴h'（x）＞0在（0，+∞）上有解，
即不等式ax2+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a＜0时，y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为要使ax2+2x-1＞0在（0，+∞）上总有解，只需△=4+4a＞0，即a＞-1．即-1＜a＜0
②当a＞0 时，y=ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线，ax2+2x-1＞0 一定有解．
综上，a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）                         …（5分）
（Ⅱ）方程
则
即ax2+（1-2a）x-lnx=0…（6分），
设h（x）=ax2+（1-2a）x-lnx．
于是原方程在区间内根的问题，转化为函数h（x）在区间内的零点问题
…（9分）
…（12分）
解得，所以a的取值范围是…（14分）