Question

已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），则满足的实数x的取值范围是（ ）
A．（-1，2）
B．（-1，）
C．（，2）
D．（-2，1）

Answer

由函数f（x）是定义在R上的奇函数且xf′（x）＜f（-x）可得，[xf（x）]′＜0，所以函数F（x）=xf（x）为（-∞，0]上的减函数，因为函数F（x）为偶函数，所以函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．由得（2x-1）f（2x-1）＜3f（3），所以F（2x-1）＜F（3），所以|2x-1|＜3，解得-1＜x＜2．
【解析】
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴由xf′（x）＜f（-x）可得xf′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]′＜0
∵当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），
∴当x∈（-∞，0]时，恒有[xf（x）]′＜0
设F（x）=xf（x）
则函数F（x）=xf（x）为（-∞，0]上的减函数．
∵F（-x）=（-x）f（-x）=（-x）（-f（x））=xf（x）=F（x）
∴函数F（x）为R上的偶函数．
∴函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．
∵
∴（2x-1）f（2x-1）＜3f（3）
∴F（2x-1）＜F（3）
∴|2x-1|＜3
解得-1＜x＜2
故选A