Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是公比为f（t），作数列{b_n}，使（n=2，3，4，…），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1；
（3）若t=-3，设c_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1，T_n=++…+，求使k≥（7-2n）T_n（n∈N⁺）恒成立的实数k的范围．

Answer

（1）由可求得=（n=3，4，…），又a1=1，a2=，可证数列{an}是首项为1，公比为的等比数列；
（2）依题意可求得f（t）=+，bn=f（）=，可知数列{b2n-1}与{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，且b2n=，从而可求得b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1；
（3）可求得cn=-，=-，数列{}的前n项和为-，对k≥（7-2n）Tn（n∈N+）化简得k≥对任意n∈N*恒成立，再构造函数dn=，对n分类讨论，研究函数，{dn}与{cn}的单调性即可求得k的取值范围．
【解析】
（1）由S1=a1=1，S2=a1+a2=1+a2，得3t（1+a2）-（2t+3）=3t，则a2=，于是=，
又两式相减得3tan-（2t+3）an-1=0，
于是=（n=3，4，…）
因此，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）按题意，f（t）==+，
故bn=f（）=+bn-1⇒bn=1+（n-1）=，
由bn=，可知数列{b2n-1}与{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，且b2n=，
于是b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）
=-（b2+b4+…+b2n）
=-（2n2+3n）
（3）cn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-（1+2+3+…+n）
=-．
故=-=-2（-）．
Tn=++…+
=-2[（1-）+（-）+…+（-）]
=-．
所以数列{}的前n项和为-．化简得k≥对任意n∈N*恒成立．
设dn=，则dn+1-dn=-=．
当n≥5，dn+1≤dn，{dn}为单调递减数列，1≤n＜5，dn+1＞dn，{dn}为单调递增数列．
当n≥5，cn+1≤cn，{cn}为单调递减数列，当1≤n＜5，cn+1＞cn，{cn}为单调递增数列．
=d4＜d5=，所以，n=5时，dn取得最大值为．
所以，要使k≥对任意n∈N*恒成立，k≥．