Question

设x＞0，y＞0，z＞0，且x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（）²的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用重要不等式x2+y2≥2xy，通过同向不等式可加性，直接求证：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）利用≥2z2；≥2y2；≥2x2，推出（）2的不等关系，利用已知条件即可求出表达式的最小值．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为x2+y2≥2xy；  
 y2+z2≥2yz；   
 x2+z2≥2xz；
所以x2+y2+z2≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
当且仅当x=y=z时取等号；---------------------（6分）
（Ⅱ）因为≥2z2；≥2y2；≥2x2
所以+≥x2+y2+z2=1；
而（）2=++2（x2+y2+z2）≥3
所以（）2≥3，当且仅当x=y=z时取等号；
故当x=y=z=时，（）2的最小值为3．------------（14分）