Question

已知函数（其中a为常数，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=时，判断函数f（x）的单调性并写出其单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

Answer

（Ⅰ）由条件知函数f（x）的定义域是（0，+∞），求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，
（II）令，当a＞0时，f（x）＞，，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，从而得出h（x）最大值，最终得到即＞0恒成立，从而f（x）=0无解．或者设f （x）的极小值点为x，利用其最小值恒大于0即可证得f（x）=0没有实数解．
【解析】
（Ⅰ）因为x＞0，
当a=时，==，
令f'（x）＞0，所以，
令f'（x）＜0，所以；
所以函数f（x）的单调增区间为；
单调减区间为．-------------------------------------（7分）

（Ⅱ）解一：令
当a＞0时，----------------------------------------------------------（10分）
令h'（x）＞0，则x∈（0，e）
所以h（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，
所以h（x）max=h（e）=---------------------------------------------------------------（13分）
所以x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即
即，＞0恒成立，
所以f （x）=0无解．----------------------------------------------------------------------（15分）
解二：设f （x）的极小值点为x，则，
令g（x）=，则g'（x）=，---------------------------------（10分）
当x＞e 时，g'（x）＞0，
当x＜e 时，g'（x）＜0，
所以g（x）min=g（e）=0，即＞0，------------------------------------------（13分）
故＞0恒成立．
所以f （x）=0无解．-------------------------------------------------（15分）