Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由f（x）是偶函数可得φ的值，利用图象关于点M对称，得f（-x）=-f（+x），可得ω的可能取值，结合单调函数可确定ω的值．
【解析】
由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题设0＜φ＜π，所以解得φ=，
由f（x）的图象关于点M对称，得f（-x）=-f（+x），
取x=0，得f（）=sin（+）=cos，
∴f（）=sin（+）=cos，∴cos=0，
又ω＞0，得=+kπ，k=1，2，3，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
当k=0时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；
当k=2时，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是单调函数；
所以，综合得ω=或2．
故选D．