Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β．
（Ⅰ）当最小时，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）当∠DPC=β时，求的值．

Answer

（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，分别写出点A，B，C，D，P的坐标，利用数量积和二次函数的单调性\两角和的正切公式即可得出；
（II）利用诱导公式和倍角公式即可得出．
【解析】
（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系．
则A（0，0），B（3，0），C（3，2），
D（0，1），令P（x，0），0≤x≤3
有
所以，
当时，最小
此时，在△CPB中，，
在△DPA中，
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
，
∵∠DPC=β，∴α=π-2β，tanα=-tan2β
∴整理得：
此时．