Question

已知正项数列{a_n} 满足S_n+Sn-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数{a_n} 的前n项和．
（1）求a₂及通项a_n；
（2）记数列{}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N⁺都成立，求证：0＜t≤1．

Answer

（1）将n=2代入已知等式，求出a2，仿写另一个等式，两个式子相减得到数列的项的递推关系，利用等差数列的定义及等差数列的通项公式求得．
（2）根据第（1）问题结论利用裂项的方法即可求的不等式左边当n≥2时的前n项和，进而问题转化为t2（1-）＜2对于n≥2，n∈N*恒成立，再结合放缩法即可获得问题的解答．
【解析】
（1）a1=1，S2+S1=ta22+2得a2=0（舍去）或，
又Sn+Sn-1=tan2+2    （1）
Sn-1+Sn-2=tan-12+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得an+an-1=t（an2-an-12）（n≥3），
因为数列{an}为正项数列，∴，
即数列{an}从第二项开始是公差为的等差数列．∴----7 分
（2）当n=时T1=t＜2；
n≥2时，Tn==
要使Tn＜2对所有n∈N*恒成立，只≤2成立，
故0t≤1得证----（14分）