Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足，且
（I）试求出S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）根据S₁，S₂，S₃的值猜想出S_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer

（I）由题设可得求得S1，S2，S3 的值，猜测
（Ⅱ）利用数学归纳法加验证n=1时猜想成立，然后假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．
【解析】
S1=a1=，
S2=S1+=，
S3=S2+=
（Ⅱ）由（I）猜想
①当n=1时，左边=S1=a1=，右边==，等式成立．
②假设n=k时等式成立，即
则当n=k+1时，左边===
即当n=k+1时，等式成立．
由①②可知，当时对任意正整数n都成立．