Question

已知函数f（x）满足．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（I）利用导数的运算法则可得f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）．
令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．
（II）设g（x）=f′（x）=ex-1+x，则g′（x）=ex+1＞0，可得f′（x）在R上单调递增．进而得到f（x）的单调性．
【解析】
（I）f′（x）=f′（1）ex-1-f（0）+x，
令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．
∴．
令x=0，得f′（1）=e，
∴．
（II）设g（x）=f′（x）=ex-1+x，
则g′（x）=ex+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．
而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
因此f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．