Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（a∈R）的图象与x轴相切，且在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设函数g（x）=xf（x），求g（x）的极值；
（III）设函数h（x）=g（x）+x-k，当h（x）存在3个零点时，求实数k的取值范围．

Answer

（I）由题意，令△=a2-4a=0，解得a=0或4．再分别验证是否符合条件即可；
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得或2．
列表如下：即可得出极值．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得或1．
可知h（x）极大值=h（1），．
由题意h（x）存在3个零点，则，解出即可．
【解析】
（I）由题意，令△=a2-4a=0，解得a=0或4．
当a=0时，f（x）=x2，在（0，+∞）单调递增，不符合题意；
当a=4时，f（x）=（x-2）2，在区间（0，2）上单调递减，符合题意．
∴f（x）=x2-4x+4．
（II）g（x）=xf（x）=x3-4x2+4x，g′（x）=3x2-8x+4，
令g′（x）=0，解得或2．
列表如下：∴=，g（x）极小值=g（2）=0．
（III）h（x）=g（x）+x-k=x3-4x2+5x-k，
∴h′（x）=3x2-8x+5，令h′（x）=0，解得或1．
可知h（x）极大值=h（1），．
由题意h（x）存在3个零点，则，解得．
所以实数k的取值范围是．