Question

已知椭圆，过点（2，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer

（1）设出切线l的点斜式方程：y=k（x-2），由题意原点到直线l的距离等于1，利用点到直线距离公式建立关于k的方程解出k=，可得切线l的方程；
（2）直线l方程与椭圆方程消去y，得到7x2-16x-32=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系算出|x1-x2|=，再由弦长公式即可算出弦AB的长．
【解析】
（1）设切线l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0
∵直线l与圆x2+y2=1相切
∴原点到直线l的距离d==1，解之得k=
∴切线l的方程为
（2）由与消去y，
得7x2-16x-32=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=-
∴|x1-x2|==
因此，弦AB的长|AB|=•|x1-x2|=×=．