Question

已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

Answer

（1）根据题意可得a2+b2=4，得到a和b的关系，把点（3，）代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2=4求得b，双曲线方程可得．
（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．
【解析】
（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），
将点（3，）代入上式，得．解得a2=18（舍去）或a2=2，
故所求双曲线方程为．
（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（-）∪（1，）．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，
于是，|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d=，
∴S△OEF=．
若S△OEF=，即，解得k=±，
满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．