Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a-c=1，从而可求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．
（1）【解析】
由题意设椭圆的标准方程为，
由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
可得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆的标准方程为；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
则
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=-1，即
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
∴7m2+16mk+4k2=0
解得：，且均满足3+4k2-m2＞0
当m1=-2k时，l的方程y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当时，l的方程为，直线过定点
所以，直线l过定点，定点坐标为