Question

在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=，sinB=．
（1）求角C；
（2）若三角形的面积S=，求a，b，c的值．

Answer

（1）根据同角三角函数的关系和二倍角余弦公式，算出cosB=、sinA=且cosA=．再利用两角和的余弦公式得到cos（A+B）=，从而得到A+B=，利用三角形内角和定理可得角C=．
（2）由正弦定理的面积公式，算出ab=，由（1）的结论和正弦定理得到a：b=，解出a=且b=1．最后根据余弦定理算出边c=，得到本题答案．
【解析】
（1）∵A、B为锐角，sinB=，
∴cosB==．
又∵cos2A=1-2sin2A=，
∴解之得sinA=，cosA==．
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=×-×=．
∵0＜A+B＜π，∴A+B=，可得角C=π-（A+B）=．
（2）∵三角形的面积S=absinC=，
∴ab==
又∵sinA：sinB=；=，可得a：b=
∴a=，b=1．根据余弦定理，得
c2=a2+b2-2abcosC=2+1-2×1×cos=5
∴c=
综上所述，a，b，c的值分别为，1，．