Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，D是BC的中点，E是CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证：BE⊥平面ADB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，证明，即可得到结论；
（2）确定平面ADB1的法向量、平面BAB1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AB1-D的余弦值．
（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，2，1），A（0，0，0），D（1，1，0），B1（2，0，4）
∴=（-2，2，1），=（1，1，0），=（2，0，4）
∴
∴BE⊥AD，BE⊥AB1
∴AD∩AB1=A
∴BE⊥平面ADB1；
（2）【解析】
由（1）知，平面ADB1的法向量为=（-2，2，1），平面BAB1的法向量为=（0，1，0）
∴cos＜＞==
∴二面角B-AB1-D的余弦值为．