Question

已知双曲线C：的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点M（0，2）的直线l交双曲线C于E、F两点，若△EOF的面积为，求直线l的方程．

Answer

（1）利用点到直线的距离公式及a，b，c的关系即可得出；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，E（x1，y1），F（x2，y2）．与双曲线的方程联立即可得到根与系数的关系，利用弦长公式和三角形的面积公式即可得出．
【解析】
（1）∵焦点F2（2，0）到渐近线的距离为，
∴，
∵c=2，∴b=，
∴a2=c2-b2=2，
∴双曲线C的方程为；
（2）设直线l的方程为y=kx+2，E（x1，y1），F（x2，y2）．
联立，化为（1-k2）x2-4kx-6=0，
由于k2≠1，∴，，
=|x1-x2|==，
∴，
化为k4-k2-2=0．
解之得k2=2，即，经检验符合题意．
故所求直线方程为或y=-x+2．