Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（1）求实数a的值；
（2）若m＞n＞0，求证：；
（3）若关于x的方程f（x）+2x=x²+λ在上恰有两个不相等的实数根，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）求导函数，由条件，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（2）利用分析法，转化证明lnx＜x-1，x＞1即可；
（3）原方程可化为x2-3x+lnx+λ=0，，构造新函数，确定单调性与最值，即可求实数λ的取值范围．
（1）【解析】
由题意，f′（x）=1-
∵函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴f′（1）=0
∴a=0；
（2）证明：∵m＞n＞0，∴要证明，只需要证明
只需要证明lnx＜x-1，x＞1
记g（x）=lnx-x=-f（x）
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减
∴g（x）＜g（1）=-1，即lnx-x＜-1
∴；
（3）【解析】
∵f（x）+2x=x2+λ，f（x）=x-lnx
∴原方程可化为x2-3x+lnx+λ=0，
记h（x）=x2-3x+lnx+λ，
则
∴时，h′（x）＜0，x∈（1，2）时，h′（x）＞0，
∵=，h（2）=-2+ln2+λ，h（1）=-2+λ，
∴
∴
∴
∴．