Question

在数列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；
②{（-1）ⁿ}是等方差数列；
③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；
④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④

Answer

根据等方差数列的定义①{an}是等方差数列，则an2-an-12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证akn+12-akn2是一个常数；④根据等方差数列和等差数列的定义，证明公差是零即可．
【解析】
①∵{an}是等方差数列，∴an2-an-12=p（p为常数）得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
∴{an2}是等差数列；
②数列{（-1）n}中，an2-an-12=[（-1）n]2-[（-1）n-1]2=0，
∴{（-1）n}是等方差数列；故②正确；
③数列{an}中的项列举出来是，a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，…，a3k，…，
∵（ak+12-ak2）=（ak+22-ak+12）=（ak+32-ak+22）=…=（a2k2-a2k-12）=p
∴（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=kp
∴（akn+12-akn2）=kp
∴{akn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列；故③正确；
④∵{an}既是等差数列，∴an-an-1=d，
∵{an}既是等方差数列，，∴an2-an-12=p
∴（an+an-1）d=p，
1°当d=0时，数列{an}是常数列，
2°当d≠0时，an=，数列{an}是常数列，
综上数列{an}是常数列，故④正确，
故选C．