Question

等比数列{a_n}的公比为q，前n项的积为T_n，并且满足a₁＞1，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀-1＞0，（a₂₀₀₉-1）（a₂₀₁₀-1）＜0，给出下列结论①0＜q＜1；②a₂₀₀₉•a₂₀₁₁＜1；③T₂₀₁₀是T_n中最大的；④使得T_n＞1成立的最大的自然数是4018．其中正确结论的序号为     ．（将你认为正确的全部填上）

Answer

根据（a2009-1）（a2010-1）＜0判断出a2009＜1或a2010＜1，先看a2009＜1，则可知a2010＞1假设a2009＜0，那么q＜0，则可知a2010应与a1异号，推断出a2010＜0与a2010＞1矛盾，假设不成立，推断出q＞0，根据a2009=a1q2008应推断出a2009=a1q2008应该大于1假设不成立，进而综合可推断0＜q＜1判断出①正确．由结论（1）可知数列从2010项开始小于1，进而可推断出T2009是Tn中最大的③不正确，根据等比中项的性质可知a2009•a2011=a22010＜1推断出②正确．根据等比中项的性质可知当Tn=（a2009）2时，Tn＞1成立的最大的自然数，求的n推断出④正确．
【解析】
∵（a2009-1）（a2010-1）＜0
∴a2009＜1或a2010＜1
如果a2009＜1，那么a2010＞1
如果a2009＜0，那么q＜0
又a2010=a1q2009，所以a2010应与a1异号，即a2010＜0
和前面a2010＞1的假设矛盾了
∴q＞0
又或者a2009＜1，a2010＞1，
那么a2009=a1q2008应该大于1
又矛盾了．因此q＜1
综上所述 0＜q＜1，故①正确
a2009•a2011=a22010＜1故②正确．，
由结论（1）可知数列从2010项开始小于1
∴T2009为最大项③不正确．
由结论1可知数列由2010项开始小于1，
Tn=a1a2a3…an
∵数列从第2010项开始小于1，
∴当Tn=（a2009）2时，Tn＞1成立的最大的自然数
求得n=4018，故④正确．
故答案为：①②④