Question

已知数列{a_n}满足，且a₁=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=，记T_n=，证明：T_n＜1．

Answer

（1）利用，可得数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）利用错位相减法，即可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵a1=0，∴
∵
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴=n，∴an=；
（2）【解析】
bn=n•2nan=（n-1）•2n，
∴Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n，
∴2Sn=1•23+2•24+…+（n-2）•2n+（n-1）•2n+1，
两式相减可得-Sn=1•22+1•23+…+1•2n-（n-1）•2n+1，
∴Sn=4+（n-2）•2n+1；
（3）证明：cn==，
∴Tn==+…+=＜1，
∴Tn＜1．