Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．

Answer

（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用二次项非0，且判别式等于0或二次项为0可求得a．
（2）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OP⊥OQ，推断出y1y2=-x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=-x1x2．求得a．
【解析】
（1）联立方程组．
∵直线l与曲线C有两个交点P、Q，
∴或a2-3=0
∴或a=
∴a=或
（2）设点P、Q的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．
由（1）可知，．
∵以线段PQ为直径的圆经过原点，
∴，即x1x2+y1y2=0．
又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，
即，解得a=±1
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．