Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ） 证明：（n∈N，n≥2）．
参考数据：ln2≈0.6931．

Answer

（Ⅰ）f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值，必有f'（x）=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=x-lnx，方程f（x）+2x=x2+b即为b=-x2+3x-lnx，只需g（x）=-x2+3x-lnx的图象与y=b有两个交点即可．
（Ⅲ）法一：取h（x）=x2-1-4lnx（x≥2）．利用导数得出h（x）在[2，+∞）上单调递增．所以h（x）≥h（2）=3-4ln2＞0．构造=（x≥2）进行证明．
法二：设h（x）=x-1-2lnx（x≥4），得出h（x）在[4，+∞）上为增函数．通过h（x）≥h（4）=3-4ln2＞0．得出x-1＞2lnx（x≥4），即n2-1＞2lnn2=4lnn（n∈N，n≥2），构造出进行证明．
【解析】
（Ⅰ）的解为x=1，得到a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=x-lnx，方程f（x）+2x=x2+b即为b=-x2+3x-lnx
令g（x）=-x2+3x-lnx，则，
则g（x）在区间上，g'（x）＞0，是增函数；
在区间（1，2]上，g'（x）＜0，是减函数．
又，g（1）=2，g（2）=2-ln2．所以b的取值范围是．
（Ⅲ）【法一】取h（x）=x2-1-4lnx（x≥2）．
则（x≥2）．
所以h（x）在[2，+∞）上单调递增．所以h（x）≥h（2）=3-4ln2＞0．
所以x2-1-4lnx＞0（x≥2），即（x≥2）．
所以（k∈N，k≥2）．
所以===（n∈N，n≥2）．
【法二】设h（x）=x-1-2lnx（x≥4），
则．所以h（x）在[4，+∞）上为增函数．
所以h（x）≥h（4）=3-4ln2＞0．所以x-1＞2lnx（x≥4），
即n2-1＞2lnn2=4lnn（n∈N，n≥2），所以．
（以下同法一）