Question

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₂|=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得a的值，在Rt△PF1F2中，|F1F2|=，可得椭圆的半焦距c=，从而可求椭圆C的方程为=1；
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），设过点（-2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程，利用A，B关于点M对称，结合韦达定理，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中，|F1F2|=，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2-c2=4，
所以椭圆C的方程为=1．（6分）
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．若直线l斜率不存在，显然不合题意．
从而可设过点（-2，1）的直线l的方程为 y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称，所以，解得k=，
所以直线l的方程为，即8x-9y+25=0．
经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意．                   （14分）