Question

在长方形AA₁B₁B中，AB=2AA₁，C，C₁分别AB，A₁B₁是的中点（如图1）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图2），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（1）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（2）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理，证明EF∥C1D即可．
（2）利用面面垂直的判定定理去证明．
【解析】
（1）取A1B的中点F，连结DF，EF，
∵D，F分别为A1B1，A1B的中点，∴DF是△A1BB1的中位线，

即四边形C1EFD为平行四边形，
∴EF∥C1D
∵EF⊂平面A1BE，
∴C1D∥平面A1BE．…（4分）
（2）依题意：平面A1B1C1⊥平面A1BBA，
∵D为A1B1的中点，且三角形A1C1B1为等腰直角三角形，
∴C1D⊥A1B1，由面面垂直的性质定理得C1D⊥平面A1BB1A，…（6分）
又∵C1D∥EF，∴EF⊥平面A1BB1A，
∵EF⊂平面A1BE，
平面A1BE⊥平面AA1B1B．…（8分）