Question

某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＞q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ		1	2	3
p		a	d

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
（Ⅱ）求P，q的值；
（Ⅲ）求数学期望Eξ．

Answer

（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率为1-P（ξ=0）；
（II）根据P（ξ=0）与P（ξ=3）建立关于p和q的方程组，解之即可求出p和q的值；
（III）先求出a和d的值，然后根据Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）即可求出数学期望．
【解析】
事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3，由题意知，P（A2）=p，P（A3）=q
（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，
（II）由题意知

整理得  ，p+q=1
由p＞q，可得，．
（III）由题意知
==
d=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2P（ξ=2）+3P（ξ=3）=
故所求数学期望为．