Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点的坐标是（0，1），离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer

（Ⅰ）由题意知b=1，，由此能够导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由，得λ12+10λ1+5-5y2=0．由得λ22+10λ2+5-5y2=0．λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y2=0的两个根，∴λ1+λ2=-10．
方法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．然后利用根与系数的关系证明λ1+λ2为定值．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
则由题意知b=1．∴．
即．∴a2=5．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）方法一：设A，B，M点的坐标分别为
A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y），
又易知F点的坐标为（2，0）．
∵，∴（x1，y1-y）=λ1（2-x1，-y1）．
∴，．
将A点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y2=0．
同理，由可得：λ22+10λ2+5-5y2=0．
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y2=0的两个根，
∴λ1+λ2=-10．
方法二：设A，B，M点的坐标分别为A
（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y），
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，
消去y并整理得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0．
∴，．
又∵，，
将各点坐标代入得，．
．