Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A（-a，0）的直线l与椭圆相交另一点B，若，求直线l的倾斜角．

Answer

（I）由离心率，结合c2=a2-b2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由，得3a2=4c2．
再由c2=a2-b2，解得a=2b．
由题意可知，即ab=2．
解得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
代入椭圆方程，消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0．
由，得．
从而．
所以|AB|==．
由，得．
整理得32k4-9k2-23=0，即（k2-1）（32k2+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为或．